Как из тангенса получить синус
Как найти синус и косинус через тангенс?
Как найти синус, если известен тангенс?
Как найти косинус, если известен тангенс?
Косинус через тангенс
Для того, чтобы найти значение косинуса по известному тангенсу, нужно воспользоваться одним из тригонометрических тождеств.
Сумма квадрата тангенса и единицы равна отношению единицы и квадрата косинуса.
Отсюда можно выразить косинус:
Наличие знака ± связано с тем, что в одних четвертях косинус угла может быть положительным, а в других – отрицательным.
То есть в условии задачи должна оговариваться четверть, в которой находится угол.
tgα = 1/√3, α находится в 1 четверти (0
Синус через тангенс
Здесь также понадобятся тригонометрические тождества.
Можно пойти двумя путями:
1) Выразить котангенс через тангенс и найти синус по котангенсу.
2) Найти косинус по тангенсу, а затем воспользоваться основным тригонометрическим тождеством.
tgα = √3, α находится в 1 четверти (0
В алгебре и геометрии очень часто при решении задач используются тригонометрические формулы, которые чаще называют тригонометрическими тождествами. Из любого тригонометрического тождества несложно вывести новую формулу, необходимую для нахождения одной из величин, входящих в его состав.
Для того, чтобы найти косинус угла, зная его тангенс, возьмем тригонометрическое тождество:
Из данного тождества выводим новую формулу для вычисления косинуса:
Не забываем, что косинус может принимать как положительные, так и отрицательные значения в зависимости от четверти нахождения угла.
Для вычисления синуса угла через его тангенс можно действовать по-разному.
Например, вычислить по выведенной выше формуле косинус угла, а затем воспользоваться еще одним тригонометрическим тождеством и вывести из него формулу для вычисления синуса угла:
Основные тригонометрические формулы и тождества sin, cos, tg, ctg
Основные формулы тригонометрии – это формулы, устанавливающие связи между основными тригонометрическими функциями. Синус, косинус, тангенс и котангенс связаны между собой множеством соотношений. Ниже приведем основные тригонометрические формулы, а для удобства сгруппируем их по назначению. С использованием данных формул можно решить практически любую задачу из стандартного курса тригонометрии. Сразу отметим, что ниже приведены лишь сами формулы, а не их вывод, которому будут посвящены отдельные статьи.
Основные тождества тригонометрии
Тригонометрические тождества дают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, позволяя выразить одну функцию через другую.
sin 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α · c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , c t g 2 α + 1 = 1 sin 2 α
Эти тождества напрямую вытекают из определений единичной окружности, синуса (sin), косинуса (cos), тангенса (tg) и котангенса (ctg).
Формулы приведения
Формулы приведения позволяют переходить от работы с произвольными и сколь угодно большими углами к работе с углами в пределах от 0 до 90 градусов.
sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin – α + 2 π z = – sin α , cos – α + 2 π z = cos α t g – α + 2 π z = – t g α , c t g – α + 2 π z = – c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = – sin α t g π 2 + α + 2 π z = – c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = – t g α sin π 2 – α + 2 π z = cos α , cos π 2 – α + 2 π z = sin α t g π 2 – α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 – α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = – sin α , cos π + α + 2 π z = – cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π – α + 2 π z = sin α , cos π – α + 2 π z = – cos α t g π – α + 2 π z = – t g α , c t g π – α + 2 π z = – c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = – cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = – c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = – t g α sin 3 π 2 – α + 2 π z = – cos α , cos 3 π 2 – α + 2 π z = – sin α t g 3 π 2 – α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 – α + 2 π z = t g α
Формулы приведения являются следствием периодичности тригонометрических функций.
Тригонометрические формулы сложения
Формулы сложения в тригонометрии позволяют выразить тригонометрическую функцию суммы или разности углов через тригонометрические функции этих углов.
Тригонометрические формулы сложения
sin α ± β = sin α · cos β ± cos α · sin β cos α + β = cos α · cos β – sin α · sin β cos α – β = cos α · cos β + sin α · sin β t g α ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α · t g β c t g α ± β = – 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β
На основе формул сложения выводятся тригонометрические формулы кратного угла.
Формулы кратного угла: двойного, тройного и т.д.
sin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α – sin 2 α , cos 2 α = 1 – 2 sin 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α – 1 t g 2 α = 2 · t g α 1 – t g 2 α с t g 2 α = с t g 2 α – 1 2 · с t g α sin 3 α = 3 sin α · cos 2 α – sin 3 α , sin 3 α = 3 sin α – 4 sin 3 α cos 3 α = cos 3 α – 3 sin 2 α · cos α , cos 3 α = – 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α – t g 3 α 1 – 3 t g 2 α c t g 3 α = c t g 3 α – 3 c t g α 3 c t g 2 α – 1
Формулы половинного угла
Формулы половинного угла в тригонометрии являются следствием формул двойного угла и выражают соотношения между основными функциями половинного угла и косинусом целого угла.
Формулы половинного угла
sin 2 α 2 = 1 – cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 – cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 – cos α
Формулы понижения степени
sin 2 α = 1 – cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α – sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 – 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8
Часто при расчетах действовать с громоздктми степенями неудобно. Формулы понижения степени позволяют понизить степень тригонометрической функции со сколь угодно большой до первой. Приведем их общий вид:
Общий вид формул понижения степени
sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n – 1 ∑ k = 0 n 2 – 1 ( – 1 ) n 2 – k · C k n · cos ( ( n – 2 k ) α ) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n – 1 ∑ k = 0 n 2 – 1 C k n · cos ( ( n – 2 k ) α )
sin n α = 1 2 n – 1 ∑ k = 0 n – 1 2 ( – 1 ) n – 1 2 – k · C k n · sin ( ( n – 2 k ) α ) cos n α = 1 2 n – 1 ∑ k = 0 n – 1 2 C k n · cos ( ( n – 2 k ) α )
Сумма и разность тригонометрических функций
Разность и сумму тригонометрических функций можно представить в виде произведения. Разложение на множители разностей синусов и косинусов очень удобно применять при решении тригонометрических уравнений и упрощении выражений.
Сумма и разность тригонометрических функций
sin α + sin β = 2 sin α + β 2 · cos α – β 2 sin α – sin β = 2 sin α – β 2 · cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 · cos α – β 2 cos α – cos β = – 2 sin α + β 2 · sin α – β 2 , cos α – cos β = 2 sin α + β 2 · sin β – α 2
Произведение тригонометрических функций
Если формулы суммы и разности функций позволяют перейти к их произведению, то формулы произведения тригонометрических функций осуществляют обратный переход – от произведения к сумме. Рассматриваются формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус.
Формулы произведения тригонометрических функций
sin α · sin β = 1 2 · ( cos ( α – β ) – cos ( α + β ) ) cos α · cos β = 1 2 · ( cos ( α – β ) + cos ( α + β ) ) sin α · cos β = 1 2 · ( sin ( α – β ) + sin ( α + β ) )
Универсальная тригонометрическая подстановка
Все основные тригонометрические функции – синус, косинус, тангенс и котангенс, – могут быть выражены через тангенс половинного угла.
Универсальная тригонометрическая подстановка
sin α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 – t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 – t g 2 α 2 c t g α = 1 – t g 2 α 2 2 t g α 2
Тригонометрические формулы.
Тригонометрические формулы — это самые необходимые в тригонометрии формулы, необходимые для выражения тригонометрических функций, которые выполняются при любых значениях аргумента.
Формулы сложения.
sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α
sin (α – β) = sin α · cos β – sin β · cos α
cos (α + β) = cos α · cos β – sin α · sin β
cos (α – β) = cos α · cos β + sin α · sin β
tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 – tg α · tg β)
tg (α – β) = (tg α – tg β) ÷ (1 + tg α · tg β)
ctg (α + β) = (ctg α · ctg β + 1) ÷ (ctg β – ctg α)
ctg (α – β) = (ctg α · ctg β – 1) ÷ (ctg β + ctg α)
Формулы двойного угла.
tg 2α = (2tg α) ÷ (1 – tg² α)
Формулы тройного угла.
sin 3α = 3sin α – 4sin³ α
ctg 3α = (3ctg α – ctg³ α) ÷ (1 – 3ctg² α)
Формулы половинного угла.
Синус половинного угла. Примечание: Знак перед корнем выбирается в зависимости от квадранта, в который попадает угол α/2 в левой части. Данное правило справедливо также для других формул, приведенных ниже.
Косинус половинного угла:
Тангенс половинного угла:
Котангенс половинного угла:
Выражение синуса через тангенс половинного угла:
Выражение косинуса через тангенс половинного угла:
Выражение тангенса через тангенс половинного угла:
Выражение котангенса через тангенс половинного угла:
Тригонометрические формулы
Тригонометрические формулы — элементарные функции, которые выражают зависимость всех сторон прямоугольного треугольника от острых углов при гипотенузе (или зависимость хорд и высот от его центрального угла в круге).
К прямым функциям тригонометрии относят: sin x (синус), cos x (косинус). К производным: tg x (тангенс), ctg x (котангенс). А также другие тригонометрические функции: sec x (секанс) и cosec x (косеканс).
Косинус и синус в тригонометрии являются Вещественнозначными функциями, которые неограниченно дифференцируются и являются периодически непрерывными. Остальные же наоборот дифференцируются в области определении, однако, как и прямые тригонометрические функции есть непрерывными.
Значения функция для некоторых углов представлены в следующей таблице. Обозначение «∞» говорит о том, что функция в данной точке не определена и стремится к бесконечности.
Основные тригонометрические тождества:
- При известном синусе или косинусе числа можно найти его тангенс или котангенс: tg a = sin a/cos a
- Можно найти синус числа, если известен его косинус и наоборот: sin2 a + cos2 a = 1
- Найти тангенс можно через синус при известном косинусе: 1 + tg2 a = 1/cos2 a
- Найти котангенс можно через синус при известном косинусе: 1 + 1/tg2 a = 1/sin2
- sin(90o – a ) = cos a
- cos(90o – a ) = sin a
Формулы двойного аргумента позволяют выразить sin2x, cos2x, tg2x через tg x, cos x и sin x . Соответственно формулы тройного аргумента выражают sin2x, cos2x, tg2x . Всем известно, что любая формула в математике может применяться не только слева на право, но и наоборот. В тригонометрии это действует во время преобразования суммы в произведение или же при переходе от произведения к сумме.
Переход от произведения к сумме:
Переход от суммы к произведению:
Возникновение тригонометрии и тригонометрических формул связанно с астрономией, строительным делом и землемерием. Не смотря на то, что некоторые факты и понятия были
известны еще две тысячи лет назад, сам термин тригонометрия появился относительно недавно. Впервые способ решать зависимости между сторонами треугольника нашли Гиппарх и Клавдий Птолемеи (ІІ н.е.). Только намного позже эти зависимости стали называть тригонометрическими формулами.
как найти тангенс, если известен синус?
Здесь легко и интересно общаться. Присоединяйся!
Не надо дурковать.
Тангенс, если известен только синус, можно найти только с точностью до знака. Если же известно, что угол, например, острый, то тангенс будет положительным (соответственно для тупого – отрицательным) .
Из формулы син^2 + кос^2 = 1 находишь кос: кос = +-(1-син^2)^(1/2). Дальше по определению тангенса.
Для того, чтобы выразить тангенс угла через синус, нужно вспомнить геометрическое определение тангенса. Итак, тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике, называют отношение противолежащего катета к прилежащему.
2
С другой стороны, рассмотрите декартову систему координат, на которой начерчена единичная окружность с радиусом R=1, и центром О в начале координат. Примите поворот против часовой стрелки, как положительный, а в обратную сторону отрицательный.
3
Отметьте некую точку M на окружности. Из нее опустите перпендикуляр на ось Ох, назовите ее точкой N. Получился треугольник OMN, у которого угол ONM является прямым.
4
Теперь рассмотрите острый угол MON, по определению синуса и косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике
sin(MON) = MN/OM, cos(MON) = ON/OM. Тогда MN= sin(MON)*OM, а ON = cos(MON)*OM.
5
Вернувшись к геометрическому определению тангенса (tg(MON) = MN/ON), подставьте полученные выше выражения. Тогда:
tg(MON) = sin(MON)*OM/cos(MON)*OM, сократите OM, тогда tg(MON) = sin(MON)/cos(MON).
6
Из основного тригонометрического тождества (sin^2(x)+cos^2(x)=1) выразите косинус, через синус:
Подставьте это выражение в полученное на шаге 5. Тогда tg(MON) = sin(MON)/(1-sin^2(MON))^0,5.
7
Иногда существует потребность в вычисление тангенса двойного и половинчатого угла. Тут тоже выведены соотношения:
Также возможно выразить квадрат тангенса через двойной угол косинуса, либо синус.
tg^2(x) = (1-cos(2x))/(1+cos(2x)) = (1-1+2*sin^2(x))/(1+1-2*sin^2(x)) = (sin^2(x))/(1-sin^2(x)).
нужно для этого знать
1)тангенс отнашения синуса угла к косинусу,
2)синус квадрат плюс косинус квадрат равно 1
Синус разделить на косинус.
Косинус равен единице минус синус.
с помощью основного тригонометрического закона находишь косинус.
Косинус = корень квадратный из (1-синус (в квадрате) *значение угла)
Затем тангенс
Тангенс = синус/косинус
Источники:
https://www.bolshoyvopros.ru/questions/2707722-kak-najti-sinus-i-kosinus-cherez-tangens.html
https://zaochnik.com/spravochnik/matematika/trigonometrija/osnovnye-trigonometricheskie-formuly/
https://www.calc.ru/Trigonometricheskiye-Formuly.html
https://www.studyguide.ru/note.php?id=49
https://sprashivalka.com/tqa/q/18040559